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Lorsqu'on aborde le monde des formes gauches, au delà des formes élémentaires de la géométrie classique que sont les droites, les cercles, les plans, les sphères…, les belles formules différentielles que nous ont léguées les mathématiciens des siècles derniers restent le plus souvent inaccessibles au commun des mortels, bien éloignées d'une « géométrie descriptive » autorisant le dessin à l'aide d'outils élémentaires comme la règle et le compas ou le simple dessin à main levée.

Dans ses applications à l'Infographie et à la CAO, l'Informatique a mis à notre disposition une modélisation opérationnelle des formes géométriques classiques, et a également mis en lumière une nouvelle famille de formes gauches très pratiques à manipuler sur l'écran (Béziers, Splines, Nurbs, Coons, tubages, blobs,...). Cependant, du fait de l'orientation opérationnelle des outils informatiques développés, ces formes échappent à toute compréhension directe et a fortiori manuelle, les algorithmes développés dans une littérature technique imposante et parfois indigeste restant souvent complexes ou tout simplement cachés au fond des boites noires logicielles.

De Casteljau a proposé en 1959 un algorithme qui porte son nom, un algorithme récursif fondamental et étonnamment simple, une construction géométrique très intuitive menant à une puissante théorie. La présente étude en fait une application systématique à l'aide d'une poignée d'opérateurs géométriques élémentaires, et apporte quelques éléments à une géométrie descriptive de formes dites « pascaliennes », étendant les formes classiques de la géométrie aux nouvelles formes mises en lumière par l'informatique, dans une approche simple qui permet de « comprendre » les formes gauches, de les créer, de les manipuler, de les combiner facilement, que ce soit sur un ordinateur ou « à main levée » sur un bout de papier. Tout commence par la construction du milieu de deux points à l'aide d'une corde ...

Alain Marty est ingénieur ECL, architecte DPLG, enseigne à l'Ecole d'Architecture Languedoc Roussillon, construit autour de Perpignan et voyage le reste du temps dans des espaces non euclidiens.

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The geometry of curves and curved surfaces is, in itself, an example of a complex problem that is difficult to model, represent and visualise. Mathematicians of the last centuries admittedly marked it out with wonderful differential formulae, but these are often beyond the field of application of a "descriptive" geometry with its use of simple tools like a ruler, a compass or a simple freehand drawing.

In its applications to computer graphics and CAD, computer science has provided us with operational modelling for classic geometrical forms, but has also enlighted a new family of curved forms that are very practical to manipulate on the screen (Béziers, Splines, Nurbs, Coons patches,..). But because of the operational orientation of the computer tools developed, these forms cannot be apprehended directly even less manually. The algorithms developed in the imposing and sometimes indigestible literature are complex or hidden in the depths of software black boxes.

De Casteljau proposed an algorithm of the same name in 1959, a fundamental recursive algorithm that is stunningly simple, a geometrical construction that is highly intuitive leading to a potent theory.

The present essay gives this algorithm a central position, using it as a systematic application with the aid of a handful of elementary geometrical operations ; it adds some elements to a descriptive geometry of so called « pascalian forms », building a bridge between classical geometrical forms and the new forms that have emerged from computer science, defining forms whose rules ultimately allow easy creation, handling and complex combinations, wether on a computer or on paper. Everithing begins with the construction of the midpoint of two points, using a simple string...

Alain Marty is an engineer-architect (ECL/DPLG), teaches computer architecture in the "Ecole Supérieure d'Architecture de Montpellier" (ENSAM), builds little things around Perpignan and, meanwhile, travels in non euclidean spaces.