Les équations paramétriques offrent plus de facilités pour définir de façon élégante bon nombre de formes géométriques. Il s'agit d'une approche dans laquelle les coordonnées d'un point d'une forme vont être exprimées en fonction d'un ou de plusieurs paramètres généralement confinés dans une intervalle unitaire [0,1].
Soit un espace a priori de dimension quelconque (disons 2 ou 3), O le point origine des axes et deux points quelconques P0 et P1 de cet espace ; un point du segment porté par PO et P1 peut s'exprimer sous la forme :
OP(t) = OP0 + P0P1.t avec t ∈ [0,1]
équation exprimant le vecteur OP comme somme du vecteur OP0 et d'un vecteur porté par P0P1 et de longueur réduite de celle de P0P1 dans la proportion t. Mais on privilégiera l'écriture équivalente suivante, plus élégante, sans référence au point origine et symétrique par rapport aux points P0 et P1 :
OP(t) = OP0 + (OP1-OP0).t
= (1-t).OP0 + t.OP1
= (1-t).P0 + t.P1 avec t ∈ [0,1]
où l'on voit que P se déplace de façon linéaire de P0 à P1 quand t varie de 0 à 1. Noter que cette équation vectorielle est équivalente dans l'espace R3 à trois équations scalaires en x, y et z. En fait, cette écriture permet de ne pas avoir à se soucier du nombre de dimensions et l'on s'en servira abondamment par la suite. Cette écriture permet de définir simplement toute une famille de formes "linéaires" ; on mentionnera - sans autre explication pour l'instant - la portion de surface deux fois réglée connue sous le doux nom de paraboloïde hyperbolique (appelé aussi PH) et définie à partir de 4 points quelconques de l'espace (P00, P01, P10, P11) par l'expression bilinéaire suivante :
P(t) = (1-u).(1-v).P00 + u.(1-v).P01 + (1-u).v.P10 + u.v.P11,
avec u,v ∈ [0,1],
et l'arc de parabole obtenu à partir de ce PH en égalant u et v ( u = v = t ) et totalement défini (contrôlé) par 3 nouveaux points P0, P1, P2 :
P(t) = (1-t)2.P0 + 2.u.(1-t).P1 + t2.P2,
avec t ∈ [0,1] et P0 = P00, P1 = (P01 + P10)/2, P2 = P11
constituant les premiers jalons d'une famille de formes abordées au chapître 1, formes contrôlées respectivement par 4 et 3 points.
Concernant le cercle - centré sur l'origine et de rayon unité - l'équation paramétrique est immédiatement basée sur les fonctions trigonométriques fondamentales :
P(t) = ( cos(A) , sin(A) ) avec A ∈ [0, 2.π],
ce qui n'arrange rien quand on sait que ces fonctions trigonométriques sont des fonctions transcendantes, inexprimables sous la forme d'un polynome en nombre fini de termes ; en définissant une nouvelle variable t = tangente(A/2), on peut se passer des fonctions trigonométriques et trouver une expression rationnelle - cad écrite sous forme de quotient, de ratios :
x = (1-t2)/(1+t2) y = 2.t/(1+t2)
Il est difficile de trouver un lien entre cette expression et celle du segment de droite, mais nous verrons dans le chapître 3 comment on peut rattacher cette expression à celle d'une parabole, grâce à la Théorie des Coniques. Pour la sphère, l'expression paramétrique classique en u et v :
P(t) = ( r.cos(u).cos(v), r.cos(u).sin(v), r.sin(u) )
se transforme difficilement sous forme rationnelle et nous attendrons également le chapitre 3 pour l'étudier plus avant.