La trajectoire de la bille qui roule sans frottement et sans dérapage sur une surface gauche dans l'espace en dehors de toute gravitation s'appelle une géodésique ; cette courbe est telle que la poussée exercée par la bille sur la surface est toujours perpendiculaire à la surface au point de contact, égale et opposée à la réaction de la surface, toute force tangentielle annulée. On peut exprimer mathématiquement cette propriété en écrivant que l'accélération de la bille est un vecteur orthogonal à la surface, mais un peu (beaucoup) de géométrie différentielle est nécessaire pour celà.
Un point quelconque M d’une surface est défini dans l’espace par les expressions suivantes :
M(u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) avec u,v ∈ (0,1)
expressions appelées équations paramétriques de la surface. Le même point peut également être défini comme appartenant à une courbe immergée dans la surface sous la forme de l’équation paramétrique suivante :
M(t) = ( u(t), v(t) ) avec t ∈ (0,1)
La dérivée première (vitesse) de M(t) par rapport à t s’exprime en fonction des dérivées partielles ∂uM et ∂vM au point M(t) à la surface :
dM/dt = ∂M/∂u.du/dt + ∂M/∂v.dv/dt
ou pour simplifier l'écriture :
M'= ∂uM.u' + ∂vM.v'
On calcule ensuite la dérivée seconde (accélération) :
M" = dM'/dt = d(∂uM'.u' + ∂vM'.v')/dt = d(∂uM'.u')/dt + d(∂vM'.v')/dt = (∂2uuM.u'+ ∂2uvM.v').u' + ∂uM.u" +(∂2uvM.u'+ ∂2vvM.v').v' + ∂vM.v" = ∂uM.u" + ∂vM.v" + ∂2uuM.u'2 + 2.∂2uvM.u'.v' + ∂2vvM.v'2
Sachant que les dérivées partielles ∂uM et ∂vM définissent des vecteurs tangents à la surface en M(t), il ne reste plus qu'à exprimer l'orthogonalité de ces vecteurs avec le vecteur accélération en annulant leurs produits scalaires :
M"•∂uM = 0, M"•∂vM = 0
qui est le système différentiel que doit satisfaire M(t) pour que la courbe suivie soit une géodésique. On ne sait pas intégrer ce système dans le cas général, et même dans la plupart des cas ; seules des solutions approchées peuvent être obtenues et l'analyse des propriétés de ces courbes géodésiques est extrêmement complexe.
C'est bien dommage quand on sait qu'une autre propriété de ces géodésiques est qu'elles sont le chemin le plus court entre deux points quelconques d'une surface (sous certaines conditions de proximité) et qu'elles sont aux surfaces courbes ce que sont les droites dans l'espace euclidien, l'être géométrique fondamental dont tout ou presque dérive, les polygones, les triangles, la définition des angles, du parallélisme, etc...
Les surfaces gauches semblent former un monde quasiment inaccessible à l'exploration, si l'on exclut l'approche informatique qui donne à voir plus qu'à comprendre.