Les formes élastiques se construisent à partir de contraintes aux limites en conservant un équilibre interne ; nous avons abordé les géodésiques, les surfaces minimales, l'équation de Laplace et pu apprécier la difficulté de traiter ce type de géométrie. Et pourtant, ce sont justement là les formes optimales de la nature, les formes qu'il faudrait être en mesure de comprendre au fond et de maîtriser vraiment, et c'est sur ces formes que nous disposons du minimum d'outils faciles à manier.
La présente étude privilégiera les formes flexibles, abordées de la façon la plus simple et unitaire possible afin d'éclairer les ponts qu'il est possible d'établir avec les surfaces solides d'un coté et les surfaces élastiques de l'autre. L'objectif est de tenter la description exacte ou approchée des formes solides et élastiques à partir des formes flexibles. Un arc de cercle redéfini à l'aide d'une courbe flexible pourra enfin se transformer en une belle poire ou en une came ou en une goutte d'eau, se gauchir dans l'espace, s'immerger dans une surface, une surface se tendant doucement vers l'équilibre d'une lame de savon.
Ces quelques rappels de géométrie étant faits, nous allons nous poser la question de savoir comment combiner entre eux des points de l'espace, et tout d'abord de savoir comment construire le milieu de deux points.