L'équation implicite d'une courbe est une relation écrite sous la forme f(x,y) = 0, qui a l'avantage du traitement symétrique des coordonnées, ce qui n'est pas le cas de la forme dite explicite plus connue : y = f(x). Rapportée à un couple d'axes Ox et Oy, une droite du plan R2 est le lieu des points P(x,y) tels que y varie proportionnellement à x, y/a = x/b, ce qui s'écrit habituellement sous la forme explicite suivante :
y = a/b.x + d,
où d est l'ordonnée du point sur l'axe Oy, et sous la forme implicite :
f(x,y) = ax + by - d = 0.
On retrouve de la même façon l'équation implicite d'une parabole :
f(x,y) = y - ax2 - d = 0,
où d est l'ordonnée du point sur l'axe Oy. L'équation d'un cercle de rayon r centré sur l'origine des axes découle de l'application immédiate du théorème de Pythagore :
x2 + y2 = r2,
et s'écrit sous forme implicite :
f(x,y) = x2 + y2 - r2 = 0,
On trouve de même sans difficulté l'équation implicite d'une sphère dans l'espace :
f(x,y) = x2 + y2 + z2 - r2 = 0.
L'équation d'un plan est un peu plus complexe à trouver. On définit d'abord dans l'espace R3 un plan passant par l'origine des axes à l'aide du vecteur unitaire qui lui est normal en ce point N(a,b,c), puis un plan parallèle à celui-ci et situé à une distance d ; soit H le point d'intersection de ce plan et de la droite portant N. Tout point P(x,y,z) de ce plan est tel que sa projection sur la droite portant N est le point H, autrement dit tel que le produit scalaire N•OP = OH, et l'équation s'écrit :
ax + by + cz - d = 0.
Que peut être l'équation implicite f(x,y,z) = 0 d'une droite dans l'espace R3 ? Il n'existe pas en fait une telle équation et l'on est amené à considérer une droite de l'espace comme intersection de deux plans et à définir un point P(x,y,z) comme solution d'un système de deux équations linéaires :
ax + by + cz - d = 0 a'x + b'y + c'z - d' = 0
On voit donc que dans la représentation des objets les plus simples sous la forme d'équations implicites, il est difficile de trouver une unité de forme et des règles générales, chaque forme suppose une approche spécifique et cette approche dépend de l'espace dans lequel on se trouve, sa dimension, ses courbures...