Séminaire S8, "Formes complexes",
approche par les formes pascaliennes
les Mercredi 5,12,19 Avril 2006, alain marty
Lorsqu'on aborde le monde des formes gauches, au delà des formes élémentaires de la géométrie classique que sont les droites, les cercles, les plans, les sphères…, les belles formules différentielles que nous ont léguées les mathématiciens des siècles derniers restent le plus souvent inaccessibles au commun des mortels, bien éloignées d'une géométrie descriptive autorisant le dessin à l'aide d'outils élémentaires comme la règle et le compas ou le simple dessin à main levée.
Dans ses applications à l'Infographie et à la CAO, l'Informatique a mis à notre disposition une modélisation opérationnelle des formes géométriques classiques, et a également mis en lumière une nouvelle famille de formes gauches très pratiques à manipuler sur l'écran (Béziers, Splines, Nurbs, Coons, tubages, blobs,...). Cependant, du fait de l'orientation opérationnelle des outils informatiques développés, ces formes échappent à toute compréhension directe et a fortiori manuelle, les algorithmes développés dans une littérature technique imposante et parfois indigeste restant souvent complexes ou tout simplement cachés au fond des boites noires logicielles.
De Casteljau a proposé en 1959 un algorithme qui porte son nom, un algorithme récursif fondamental et étonnamment simple, une construction géométrique très intuitive menant à une puissante théorie. Sur cette base, l'approche par les formes pascaliennes est un premier pas vers une géométrie descriptive des formes gauches, une tentative de passage des formules complexes de la géométrie différentielle à un ensemble réduit d'opérations simples dont le non mathématicien peut conserver la maîtrise. Toute une famille de courbes, de surfaces et de volumes est élaborée à partir de la simple itération du procédé consistant à déterminer le milieu de deux points, généralisation de l'algorithme dû à De Casteljau, dans laquelle on retrouve les vertus du dessin à main levée aidée d'une simple corde sur le tableau noir, sur le placo du chantier ou sur le capot d'une K.
C'est cette approche qui sera prise comme langage directeur dans l'étude de la recherche de formes courbes architecturales, sous les points de vue complémentaires et non antagonistes de l'architecte et de l'ingénieur.
Mercredi 5 avril 2006
- 14h-15H : problématique, l'exemple de la gare d'Avignon
- 15h-17H : straightaway in curved spaces, un article base d'une première approche
- l'article, 9 pages lisibles en ligne et l'ouvrage complet sur les pformes au format pdf téléchargeable (6.5Mo), premier document de référence,
- présentation sur video-projecteur détaillée non encore en ligne (structure html compatible mais images trop lourdes, 26Mo, sorry ! ) :
- introduction : les géodésiques sont des lignes droites des surfaces gauches
- pFormes 1 : définition des formes pascaliennes, surfaces et diagonales
- pFormes 2 : les formes pascaliennes, le cercle et les surfaces de révolution
- geodesics : arcs géodésiques sur une couverture toroïdale
- threefoil knot : courbe spatiale complexe vue comme une ligne droite
- funicular : la chainette et la parabole
- conclusion : dans les pFormes il existe des lignes droites plus simples que les géodésiques
Mercredi 12 avril 2006
- 14h-16H : formes pascaliennes survol de l'ouvrage référence téléchargeable :
- surface élastique modélisée sur EXCEL, l'opérateur laplacien simplifié
- équation paramétrique d'un segment de droite : P(t) = (1-t)*P0 + t*P1
- équation paramétrique d'un PH : P(u,v) = (1-u)(1-v)*P0 + u(1-v)*P1 + (1-u)v*P2 + uv*P0
- équation paramétrique d'une parabole : Pm = (P0 + 2*P1 + P2)/4
- équation paramétrique d'une cubique : Pm = (P0 + 3*P1 + 3*P2 + P3)/8
- les coefficients de pascal et les formes pascaliennes (Bézier)
- immersion : une pCourbe immergée dans une pSurface est une pCourbe de l'espace
- interpolation de points : dualité complète entre les formes interpolée et non interpolée
- concatenation : cas des splines quadrique et cubique
- interpolation de courbes : cas des carreaux de coons, S = S1 + S2 - S3
- 16h-17H : application 1, définition de l'étude à entreprendre : chaque étudiant analysera une surface complexe issue de calculs statiques (solutions d'équations différentielles) afin d'en dégager des points de contrôle et d'être en mesure de la comprendre, manipuler et maîtriser. Première approche d'un travail à poursuivre "à la maison".
Mercredi 19 avril 2006, Vendredi 12 Mai 2006
Quelques exemples soumis à votre analyse :
- 14h-16H : application 2, après réflexion faite depuis la séance précédente, rendu de l'analyse sous forme graphique (papier ou numérique, peu importe), les points de contrôle sont localisés dans l'espace, la surface est comprise et peut être transmise pour réalisation.
- 16h-17H : application 2, évaluation du travail, l'ingénieur valide le résultat du point de vue statique.
Documents
Sur le site marty alain pformes, se trouve l'ensemble de documents formant la base de l'enseignement proposé. Ces documents sont dans des formats compatibles WEB (html/gif/jpg/pdf). Le cours reprend notamment les éléments d'un ouvrage (Formes Pascaliennes) paru en 2004 aux éditions de l'Espérou et d'un article (Straight away on curved spaces) présenté à Girona (Spain) en Mai 2005.
Pour information complémentaire, voir aussi une liste de sujets_mémoire proposés en 2004.